Вот немного обновил систему управления сайтом. Все прошло почти замечательно. Последовательность действий:
1. Скачать свежую версию системы управления сайтом.
2. Сделать резервную копию существующего сайта и базы данных.
3. Удалить существующие файлы сайта, оставив каталоги wp-content, wp-admin, wp-includes.
4. Закачать файлы новой версии системы управления сайтом на площадку хостинг-провайдера.
5. Перейти по ссылке «имя_сайта/wp-admin/upgrade.php и выполнить обновление базы данных.
6. Скопировать содержимое старой папки wp-content в недавно закачанную папку wp-content.
7. Войти на сайт. Все должно работать.